[이것이코딩테스트다with파이썬] 최단 경로

 

 

최단 경로 알고리즘

 

가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘 ('길 찾기' 문제)

다양한 유형에 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.

 

 

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

 

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때,

특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

 

'음의 간선(0보다 작은 값을 가지는 간선)'이 없을 때 정상적으로 동작한다.

현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은

실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘 으로 채택되곤 한다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘 -> 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류

매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복

 

원리

 

1. 출발 노드를 설정한다.

2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.

3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.

5. 위 과정에서 3, 4번을 반복한다.

 

 

 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를

항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

 

 

 

1) 간단한 다익스트라 알고리즘

 

시간 복잡도 : O(V²)

 

각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언

이후, 단계마다 '방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해

매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)

 

 

# 간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드

# 입력되는 데이터 수가 많다는 가정하게 input() 대신 sys.std.readline() 사용

# 모든 리스트는 (노드 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드 번호를 인덱스로 하여 리스트에 접근할 수 있게 함

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n -1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

2) 개선된 다익스트라 알고리즘

 

최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV) 보장 (E : 간선의 개수, V : 노드의 개수)

힙 자료구조 사용 => 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로

출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빨리 찾을 수 있음

(이 과정에서 선형 시간이 아니라 로그 시간이 걸린다)

 

힙 자료구조

 

우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조

(우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제,

우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용됨)

 

우선순위 큐 => 파이썬에서는 PriorityQueue or heapq 지원

Priority 보다는 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 heapq 사용 권장

 

우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다.

최소 힙 => 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제

최대 힙 => 값이 큰 데이터가 먼저 삭제

파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로

최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다

 

* 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호를 붙여서 넣었다가,

나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음 다시 음수 부호를 붙여서 원래 값으로 돌리는 방식 사용

 

 

# 개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만듥
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

3) 플로이드 워셜 알고리즘

 

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용하는 알고리즘

다익스트라 알고리즘과 다른 점은 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는

노드를 찾을 필요가 없다는 점이다.

노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며,

단계마다 O(N²)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다.

따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간 복잡도는 O(N³)이다.

 

다익스트라 알고리즘과의 차이점 1)

 

다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 최단 거리 저장을 위해 1차원 리스트를 이용한다.

반면, 플로이드 워셜 알고리즘은 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로의 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문에

2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장한다.

=> 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N²)의 시간이 소요된다.

 

다익스트라 알고리즘과의 차이점 2)

 

다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데, 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.

노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게'

2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍이라고 볼 수 있다.

 

알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N - 1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B)쌍을 선택한다.

이후 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신한다.

다시 말해  _N-1P₂개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 된다.

이때  O(_N-1P₂)는 O(N²)이라고 볼 수 있기 때문에, 전체 시간 복잡도는 O(N³)이라고 할 수 있다.

 

구체적인 (K번의 단계에 대한) 점화식은 다음과 같다.

 

D_ab = min(D_ab, D_ak+D_kb)

 

점화식이 의미하는 바는 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여

더 작은 값으로 갱신하겠다는 것이다.

 

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=' ')
        # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')

    print()