[이것이코딩테스트다with파이썬] 그래프 이론 (2)

 

 

신장 트리

 

하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

 

 

크루스칼 알고리즘

 

신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘'이라고 하는데

대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이 '크루스칼 알고리즘'이다.

최소 신장 트리는 일종의 트리 자료구조이므로, 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가

'노드의 개수 - 1'과 같다는 특징이 있다.

 

크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.

 

[알고리즘]

 

1) 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.

2) 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.

2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

3) 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

 

#크루스칼 알고리즘

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost
        
print(result)

 

시간 복잡도

 

크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.

왜냐하면 크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며,

E개의 데이터를 정렬했을 때 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문이다.

내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 것보다 작으므로 무시한다.

 

 

 

 

위상 정렬

 

 

방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'으로 정렬 알고리즘의 일종이다.

 

진입 차수 (Indegree)

 

특정한 노드로 '들어오는' 간선의 개수

 

[알고리즘]

 

1) 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.

 

2) 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.

1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

 

2번 과정에서 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

 

# 위상 정렬 알고리즘

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)  # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결되 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

 

 

시간 복잡도

 

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V + E)이다.

위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다.

결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V + E)의 시간이 소요되는 것이다.