[이것이코딩테스트다with파이썬] 그래프 이론 (1)

 

그래프 vs 트리

 

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드 없음	루트 노드 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

 

 

그래프의 구현 방법

 

1) 인접 행렬 : 2차원 배열을 이용하는 방식

 

노드 개수 V, 간선 개수 E인 그래프에서 인접 행렬을 이용할 때는

간선 정보를 저장하기 위해 O(V²)만큼의 메모리 공간이 필요하다.

또한, 특정한 노드 A에서 다른 특정한 노드 B로 이어진 간선의 비용을

O(1)의 시간으로 즉시 알 수 있다는 장점이 있다.

 

ex : 플로이드 워셜 알고리즘

 

2) 인접 리스트 : 리스트를 사용하는 방식

 

노드 개수 V, 간선 개수 E인 그래프에서 인접 리스트를 이용할 때는

간선 정보를 저장하기 위해 O(E)만큼의 메모리 공간이 필요하다.

또한, 특정한 노드 A에서 다른 특정한 노드 B로 이동할 때 O(V)의 시간이 소요된다.

 

ex : 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 최단 경로 알고리즘

 

 

 

서로소 집합 자료구조 (union-find 자료구조)

 

서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

union, find 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

union 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.

find 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.

 

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다.

 

서로소 집합 정보가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용하여

집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘 ↓

 

1) union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.

1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.

2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.(B'가 A'를 가리키도록 한다)

 

2) 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

 

 

* 실제 구현 시 A'와 B' 중 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많다.

* union 연산을 효과적으로 수행하기 위해 '부모 테이블'을 항상 가지고 있어야 한다.

* 루트 노드를 즉시 계산할 수 없고, 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다. (재귀적)

 

 

# 간단한 서로소 집합 알고리즘

# 기본적인 서로소 집합 알고리즘

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent((parent, a, b))

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end=' ')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end=' ')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

이렇게 구현하면, 답을 구할 수는 있지만 find 함수가 비효율적으로 동작한다.

최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)가 된다.

결과적으로 이 알고리즘을 이용하게 되면, 노드의 개수가 V개 이고 find 혹은 union 연산의 개수가 M개일 때

전체 시간 복잡도가 O(VM)이 되어 비효율적이다.

 

하지만, 이러한 find 함수는 아주 간단환 과정으로 최적화가 가능하다.

바로 경로 압축 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다.

경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신하는 기법이다.

 

기존 find 함수를 다음과 같이 변경하면 경로 압축 기법의 구현이 완료된다.

 

 

# 경로 압축 기법 소스코드

def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return x

 

이렇게 함수를 수정하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.

이 기법을 이용하면, 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있다는 점에서 시간 복잡도가 개선된다.

 

 

 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

 

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다는 특징이 있다.

(방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별이 가능하다)

 

union 연산은 그래프에서의 간선으로 표현될 수 있다.

따라서, 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도

사이클을 판별할 수 있다. 아래는 알고리즘이다.

 

1) 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다

1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다

2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다

 

2) 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다

 

 

이러한 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때

모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다.

이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무향 그래프에서만 적용 가능하다.

 

 

# 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드

# 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i
    
cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)
        if cycle:
            print("사이클이 발생했습니다.")
        else:
            print("사이클이 발생하지 않았습니다.")